\documentclass[a4paper,headsepline]{scrartcl}
\usepackage{german,indentfirst}
%\usepackage{t1enc}
\usepackage{times}
%\usepackage{newcent}
\usepackage{exscale}
\areaset{16cm}{24cm}
\pagestyle{myheadings} %\markboth{\textsc{A. Einstein}}{Zur Elektrodynamik bewegter Körper}
\markright{\textsc{A. Einstein.} Zur Elektrodynamik bewegter Körper}
\newcommand{\vdV}{\frac{v}{V}}
\newcommand{\vdVq}{\left(\vdV\right)^2}
\newcommand{\sqem}{\sqrt{1-\vdVq}}
\newcommand{\D}{\displaystyle}
\newcommand{\T}{\textstyle}
\renewcommand{\arraystretch}{2}
\setlength{\arraycolsep}{2pt}

\begin{document}
%The special theory of relativity

\begin{center}
\Large Zur Elektrodynamik bewegter Körper;\\

\normalsize  von \textsc{A. Einstein}\footnote{Abgedruckt aus Annalen der Physik 17 (1905),891-921}
\end{center}

Da"s die Elektrodynamik Maxwells --- wie dieselbe gegenwärtig aufgefa"st zu werden pflegt
--- in ihrer Anwendung auf bewegte K"orper zu Asymmetrien f"uhrt, welche den
Ph"anomenen nicht anzuhaften scheinen, ist bekannt. Man denke z. B. an die
elektrodynamische Wechselwirkung zwischen einem Magneten und einem Leiter. Das
beobachtbare Ph"anomen h"angt hier nur ab von der Relativbewegung von Leiter und Magnet,
w"ahrend nach der "ublichen Auffassung die beiden F"alle, da"s der eine oder der andere
dieser K"orper der bewegte sei, streng voneinander zu trennen sind. Bewegt sich n"amlich
der Magnet und ruht der Leiter, so entsteht in der Umgebung des Magneten ein elektrische
Feld von gewissem Energiewerte, welches an den Orten, wo sich Teile des Leiters befinden,
einen Strom erzeugt. Ruht aber der Magnet und bewegt sich der Leiter, so entsteht in der
Umgebung des Magneten kein elektrisches Feld, dagegen im Leiter eine elektromotorische
Kraft, welcher an sich keine Energie entspricht, die aber --- Gleichheit der
Relativbewegung bei den beiden ins Auge gefa"sten F"allen vorausgesetzt --- zu
elektrischen Str"omen von derselben Gr"o"se und demselben Verlaufe Veranlassung gibt, wie
im ersten Falle die elektrischen Kr"afte.

Beispiele "ahnlicher Art, sowie die mi"slungenen Versuche, eine Bewegung der Erde relativ
zum "`Lichtmedium"' zu konstatieren, f"uhren zu der Vermutung, da"s dem Begriffe der
absoluten Ruhe nicht nur in der Mechanik, sondern auch in der Elektrodynamik keine
Eigenschaften der Erscheinungen entsprechen, sondern da"s vielmehr f"uht alle
Koordinatensysteme, f"ur welche die mechanischen end optischen Gesetze gelten, wie dies
f"ur die Gr"o"sen erster Ordnung bereits erwiesen ist. Wir wollen diese Vermutung (deren
Inhalt im folgenden "`Prinzip der Relativit"at"' genannt werden wird) zur Voraussetzung
erheben und au"serdem die mit ihm nur scheinbar unvertr"agliche Voraussetzung einf"uhren,
da"s sich das Licht im leeren Raume stets mit einer bestimmten, vm Bewegungszustande des
emittierenden K"orpers unabh"angigen Geschwindigkeit $V$ fortpflanze. Diese beiden
Voraussetzungen gen"ugen, um zu einer einfachen und widerspruchsfreien Elektrodynamik
bewegter K"orper zu gelangen unter Zugrundelegung der Maxwellschen Theorie f"ur ruhende
K"orper. Die Einf"uhrung eines "`Licht"athers"' wird sich insofern als "uberfl"ussig
erweisen, als nach der zu entwickelnden Auffassung weder ein mit besonderen Eigenschaften
ausgestatteter "`absolut ruhender Raum"' eingef"uhrt, noch einem Punkte des leeren
Raumes, in welchem elektromagnetische Prozesse stattfinden, ein Geschwindigkeitsvektor
zugeordnet wird.

Die zu entwickelnde Theorie st"utzt sich --- wie jede andere Elektrodynamik --- auf die
Kinematik des starren K"orpers, da die Aussagen einer jeden Theorie Beziehungen zwischen
starren K"orpern (Koordinatensystemen), Uhren und elektromagnetischen Prozessen
betreffen. Die nicht gen"ugende Ber"ucksichtigung dieses Umstandes ist die Wurzel der
Schwierigkeiten, mit denen die Elektrodynamik bewegter K"orper gegenw"artig zu k"ampfen
hat.

\section{Kinematischer Teil.}

\subsection{Definition der Gleichzeitigkeit.}

Es liege ein Koordinatensystem vor, in welchem die Newtonschen mechanischen Gleichungen
gelten.%
%\footnote{Gemeint ist: "`in erster Annäherung gelten"'.}.
Wir nennen dies Koordinatensystem zur sprachlichen Unterscheidung von sp"ater
enzuf"uhrenden Koordinatensystemen und zur Pr"azisierung der Vorstellung das "`ruhende
System"'.

Ruht ein materieller Punkt relativ zu diesem Koordinatensystem, so kann seine Lage
relativ zu letzterem durch starre Ma"sst"abe unter Benutzung der Methoden der
euklidischen Geometrie bestimmt und in kartesischen Koordinaten ausgedr"uckt werden.

Wollen wir die \textit{Bewegung} eines materiellen Punktes beschreiben, so geben wir die
Werte seiner Koordinaten in Funktion der Zeit. Es ist nun wohl im Auge zu behalten, da"s
eine derartige mathematische Beschreibung erst dann einen physikalischen Sinn hat, wenn
man sich vorher dar"uber klar geworden ist, was hier unter "`Zeit"' verstanden wird. Wir
haben zu ber"ucksichtigen, da"s alle unsere Urteile, in welchen die Zeit eine Rolle
spielt, immer Urteile "uber \textit{gleichzeitige Ereignisse} sind. Wenn ich z. B. sage:
"`Jener Zug kommt hier um 7 Uhr an"', so hei"st dies etwa: "`Das Zeigen des kleinen
Zeigers meiner Uhr auf 7 und das Ankommen des Zuges sind gleichzeitige Ereignisse"'.
%\footnote{Die Ungenauigkeit, welche in dem Begriff der Gleichzeitigkeit zweier Ereignisse
%an (annähernd) demselben Orte steckt und gleichfalls durch Abstraktion überbrückt werden
%mu"s, soll hier nicht erörtert werden.}

Es k"onnte scheinen, da"s alle die Definition der "`Zeit"' betreffenden Schwierigkeiten
dadurch "uberwunden werden k"onnten, da"s ich an Stelle der "`Zeit"' die "`Stellung des
kleinen Zeigers meiner Uhr"' setze. Eine solche Definition gen"ugt in der Tat, wenn es
sich darum handelt, eine Zeit zu definieren ausschlie"slich f"ur den Ort, an welchem sich
die Uhr eben befindet; die Definition gen"ugt aber nicht mehr, sobald es sich darum
handelt, an verschiedenen Orten stattfindende Ereignisreihen miteinander zeitlich zu
verknüpfen, oder --- was auf dasselbe hinausläuft --- Ereignisse zeitlich zu werten,
welche in von der Uhr entfernten Orten stattfinden.

Wir k"onnten uns allerdings damit begn"ugen, die Ereignisse dadurch zeitlich zu werten,
da"s ein samt der Uhr im Koordinatenursprung befindlicher Beobachter jedem von einem zu
wertenden Ereignis Zeugnis gebenden, durch den leeren Raum zu ihm gelangenden Lichtzeigen
die entsprechende Uhrzeigerstellung zuordnet. Eine solche Zuordnung bringt aber den
"ubelstand mit sich, da"s sie vom Standpunkte des mit der Uhr versehenen Beobachters
nicht unabh"angig ist, wie wir durch die Erfahrung wissen. Zu einer weit praktischeren
Festsetzung gelangen wir durch folgende Betrachtung.

Befindet sich im Punkte $A$ des Raumes eine Uhr, so kann ein in $A$ befindlicher
Beobachter die Ereignisse in der unmittelbaren Umgebung von $A$ zeitlich werten durch
Aufsuchen der it diesen Ereignissen Gleichzeitigen Uhrzeigerstellungen. Befindet sich
auch im Punkte $B$ des Raumes eine Uhr --- wir wollen hinzuf"ugen, "`eine Uhr von genau
derselben Beschaffenheit wie die in $A$ befindliche"' --- so ist auch eine zeitliche
Wertung der Ereignisse in der unmittelbaren Umgebung von $B$ durch einen in $B$
befindlichen Beobachter m"oglich. Es ist aber ohne weitere Festsetzung nicht m"oglich,
ein Ereignis in $A$ mit einem Ereignis in $B$ zeitlich zu vergleichen; wir haben bisher
nur eine "`$A$-Zeit"' und eine "`$B$-Zeit"', aber keine f"ur $A$ und $B$ gemeinsame
"`Zeit"' definiert. Die letztere Zeit kann nun definiert werden, indem man \textit{durch
Definition} festsetzt, da"s die "`Zeit"', welche das Licht braucht, um von $A$ nach $B$
zu gelangen, gleich ist der "`Zeit"', welche es braucht, um von $B$ nach $A$ zu gelangen.
Es gehe n"amlich ein Lichtstrahl zur "`$A$-Zeit"' $t_A$ von $A$ nach $B$ ab, werde zur
"`$B$-Zeit"' $t_B$ in $B$ gegen $A$ zu reflektiert und gelange zur "`$A$-Zeit"' $t_A'$
nach $A$ zur"uck. Die beiden Uhren laufen definitionsgem"a"s synchron, wenn
\[
t_B-t_A=t_A'-t_B.
\]

Wir Nehmen an, da"s diese Definition des Synchronismus in widerspruchsfreier Weise
m"oglich sei, und zwar f"ur beliebig viele Punkte, da"s also allgemein die Beziehungen
gelten:

1. Wenn die Uhr in $B$ synchron mit der Uhr in $A$ l"auft, so l"auft die Uhr in $A$
synchron mit der Uhr in $B$.

2. Wenn die Uhr in $A$ sowohl mit der Uhr in $B$ als auch mit der Uhr in $C$ synchron
l"auft, so laufen auch die Uhren in $B$ und $C$ synchron relativ zueinander.

Wir haben so unter Zuhilfenahme gewisser (gedachter) physikalischen Erfahrungen
festgelegt, was unter synchron laufenden, an verschiedenen Orten befindlichen, ruhenden
Uhren zu verstehen ist und damit offenbar eine Definition von "`gleichzeitig"' und
"`Zeit"' gewonnen. Die "`Zeit"' eines Ereignisses ist die mit dem Ereignis gleichtzeitige
Angabe einer am Orte des Ereignisses befindlichen, ruhenden Uhr, welche mit einer
bestimmten, ruhenden Uhr, und zwar f"ur alle Zeitbestimmungen mit der n"amlichen Uhr,
synchron l"auft.

Wir setzen noch der Erfahrung gem"a"s fest, da"s die Gr"o"se
\[
\frac{2\overline{AB}}{t_A'-t_A}=V
\]
eine universelle Konstante (die Lichtgeschwindigkeit im leeren Raume) sei.

Wesentlich ist, da"s wir die Zeit mittels im ruhenden System ruhender Uhren definiert
haben; wir nennen die eben definierte Zeit wegen dieser Zugeh"origkeit zum ruhenden
System "`die Zeit des ruhenden Systems"'.

\subsection{"Uber die Relativit"at von L"angen und Zeiten.}

Die folgenden "uberlegungen st"utzen sich auf das Relativit"atsprinzip und auf das
Prinzip der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit, welche beiden Prinzipien wir
folgenderma"sen definieren.

1. Die Gesetze, nach denen sich die Zust"ande der physikalischen Systeme "andern, sind
unabh"angig davon, auf welches von zwei relativ zueinander in gleichf"ormiger
Translationsbewegung befindlichen Koordinatensystemen diese Zustands"anderungen bezogen
werden.

2. Jeder Lichtstrahl bewegt sich im "`ruhenden"' Koorinatensystem mit der bestimmten
Geschwindigkeit $V$, unabh"angig davon, ob dieser Lichtstrahl von einem ruhenden oder
bewegten K"orper emittiert ist. Hierbei ist
\[
\mathrm{Geschwindigkeit}=\frac{\mathrm{Lichtweg}}{\mathrm{Zeitdauer}},
\]
wobei "`Zeitdauer"' im Sinne der Definition des \S 1 aufzufassen ist.

Es sei ein ruhender starrer Stab gegeben; derselbe besitze, mit einem ebenfalls ruhenden
Ma"sstabe gemessen, die L"ange $l$. Wir denken uns nun die Stabachse in die $X$-Achse des
ruhenden Koordinatensystems gelegt und dem Stabe hierauf eine gleichf"ormige
Paralleltranslationsbewegung (Geschwindigkeit $v$) l"angs der $X$-Achse im Sinne der
wachsenden $x$ erteilt. Wir fragen nun nach der L"ange des \textit{bewegten} Stabes,
welche wir uns durch folgende zwei Operationen ermittelt denken:

a) Der Beobachter bewegt sich samt dem vorher genannten Ma"sstabe mit dem auszumessenden
Stabe und mi"st direkt durch Anlegen des Ma"sstabes die L"ange des Stabes, ebenso, wie
wenn sich auszumessender Stab, Beobachter und Ma"sstab in Ruhe bef"anden.

b) Der Beobachter ermittelt mittels im ruhenden Systeme aufgestellter, gem"a"s \S 1
synchroner, ruhender Uhren, in welchen Punkten des ruhenden Systems sich Anfang und Ende
des auszumessenden Stabes zu einer bestimmten Zeit $t$ befinden. Die Entfernung dieser
beiden Punkte, gemessen mit dem schon benutzten, in diesem Falle ruhenden Ma"sstabe ist
ebenfalls eine L"ange, welche man als "`L"ange des Stabes"' bezeichnen kann.

Nach dem Relativit"atsprinzip mu"s die bei der Operation a) zu findende L"ange, welche
wir "`die L"ange des Stabes im bewegten System"' nennen wollen, gleich der L"ange $l$ des
ruhenden Stabes sein.

Die bei der Operation b) zu findende L"ange, welche wir "`die L"ange des (bewegten)
Stabes im ruhenden System"' nennen wollen, werden wir unter Zugrundelegung unserer beiden
Prinzipien bestimmen und finden, da"s sie von $l$ verschieden ist.

Die allgemein gebrauchte Kinematik nimmt stillschweigend an, da"s die durch die beiden
erw"ahnten Operationen bestimmten L"angen einander genau gleich seien, oder mit anderen
Worten, da"s ein bewegter starrer K"orper in der Zeitepoche $t$ in geometrischer
Beziehung vollst"andig durch \textit{denselben} K"orper, wenn er in bestimmter Lage
\textit{ruht}, ersetzbar sei.

Wir denken uns ferner an den beiden Stabenden ($A$ und $B$) Uhren angebracht, welche mit
den Uhren des ruhenden Systems synchron sind, d. h. deren Angaben jeweilen der
 "`Zeit des ruhenden Systems"' an den Orten, an welchen sie sich gerade befinden,
entsprechen; diese Uhren sind also "`synchron im ruhenden System"'.

Wir denken uns ferner, da"s sich bei jeder Uhr ein mit ihr bewegter Beobachter befinde,
und da"s diese Beobachter auf die beiden Uhren das im \S 1 aufgestellte Kriterium f"ur
den synchronen Gang zweier Uhren anwenden. Zur Zeit\footnote{"`Zeit"' bedeutet hier
"`Zeit des ruhenden Systems"' und zugleich "`Zeigerstellung der bewegten Uhr, welche sich
an dem Orte, von dem die Rede ist, befindet"'.} $t_A$ gehe ein Lichtstrahl von $A$ aus,
werde zur Zeit $t_B$ in $B$ reflektiert und gelange zur Zeit $t_A'$ nach $A$ zur"uck.
Unter Ber"ucksichtigung des Prinzipes von Konstanz der Lichtgeschwindigkeit finden wir:
\[
t_B-t_A=\frac{r_{AB}}{V-v}
\]
und
\[
 t_A'-t_B=\frac{r_{AB}}{V+v}
\]
wobei $r_{AB}$ die L"ange des bewegten Stabes --- im ruhenden System gemessen ---
bedeutet. Mit dem bewegten Stabe bewegte Beobachter w"urden also die beiden Uhren nicht
synchron gehend finden, w"ahrend im ruhenden System befindliche Beobachter die Uhren als
synchron laufend erkl"aren w"urden.

Wir sehen also, da"s wir dem Begriffe der Gleichzeitigkeit keine \textit{absolute}
Bedeutung beimessen d"urfen, sondern da"s zwei Ereignisse, welche, von einem
Koordinatensystem aus betrachtet, gleichzeitig sind, von einem relativ zu diesem System
bewegten System aus betrachtet, nicht mehr als gleichzeitige Ereignisse aufzufassen sind.

\subsection{Theorie der Koordinaten- und Zeittransformation von dem ruhenden auf ein
relativ zu diesem in gleichf"ormiger Translationsbewegung befindliches System.}

Seien im "`ruhenden"' Raume zwei Koordinatensysteme, d. h. zwei Systeme von je drei von
einem Punkte ausgehenden, aufeinander senkrechten starren materiellen Linien, gegeben.
Die $X$-Achsen beider Systeme m"ogen zusammenfallen, ihre $Y$- und $Z$-Achsen bez"uglich
parallel sein. Jedem Systeme sei ein starrer Ma"sstab und eine Anzahl Uhren beigegeben,
und es seien beide Ma"sst"abe sowie alle Uhren beider Systeme einander genau gleich.

Es werde nun dem Anfangspunkte des einen der beiden Systeme ($k$) eine (konstante)
Geschwindigkeit $v$ in Richtung der wachsenden $x$ des anderen, ruhenden Systems ($K$)
erteilt, welche sich auch den Koordinatenachsen, dem betreffenden Ma"sstabe sowie den
Uhren mitteilen m"oge. Jeder Zeit $t$ des ruhenden Systems $K$ entspricht dann eine
bestimmte Lage der Achsen des bewegten Systems, und wir sind aus Symmetriegr"unden befugt
anzunehmen, da"s die Bewegung von $k$ so beschaffen sein kann, da"s die Achsen des
bewegten Systems zur Zeit $t$ (es ist mit "`$t$"' immer eine Zeit des ruhenden Systems
bezeichnet) den Achsen des ruhenden Systems parallel seien.

Wir denken uns nun den Raum sowohl vom ruhenden System $K$ aus mittels des ruhenden
Ma"sstabes als auch vom bewegten System  $k$ mittels des mit ihm bewegten Ma"sstabes
ausgemessen und so die Koordinaten $x$, $y$, $z$ bzw. $\xi$, $\eta$, $\zeta$ ermittelt.
Es werde ferner mittels der im ruhenden System befindlichen ruhenden Uhren durch
Lichtsignale in der in \S 1 angegebenen Weise die Zeit $t$ des ruhenden Systems f"ur alle
Punkte des letzteren bestimmt, in denen sich Uhren befinden; ebenso werde die Zeit $\tau$
des bewegten Systems f"ur alle Punkte des bewegten Systems, in welchen sich relativ zu
letzterem ruhende Uhren befinden, bestimmt durch Anwendung der in \S 1 genannten Methode
der Lichtsignale zwischen den Punkten, in denen sich die letzteren Uhren befinden.

Zu jedem Wertsystem $x$, $y$, $z$, $t$, welches Ort und Zeit eines Ereignisse im ruhenden
System vollkommen bestimmt, geh"ort ein jenes Ereignis relativ zum System $k$
festlegendes Wertsystem $\xi$, $\eta$, $\zeta$, $\tau$, und es ist nun die Aufgabe zu
l"osen, das diese Gr"o"sen verkn"upfende Gleichungssystem zu finden.

Zun"achst ist klar, die Gleichungen \textit{linear} sein müssen wegen der
Homogänitätseigenschaften, welche wir Raum und Zeit beilegen.

Setzen wir $x'=x-vt$, so ist klar, da"s einem im System $k$ ruhenden Punkte ein
bestimmtes, von Zeit unabh"angiges Wertsystem $x'$, $y$, $z$ zukommt. Wir bestimmen
zuerst $\tau$ als Funktion von $x'$, $y$, $z$ und $t$. Zu diesem Zwecke haben wir in
Gleichungen auszudr"ucken, da"s $\tau$ nichts anderes ist als der Inbegriff der Angaben
von im System $k$ ruhenden Uhren, welche nach der im \S 1 gegebenen Regel synchron
gemacht worden sind.

Vom Anfangspunkt des Systems $k$ aus werde ein Lichtstrahl zur Zeit $\tau_0$ l"angs der
$X$-Achse nach $x'$ gesandt und von dort zur Zeit $\tau_1$ nach dem Koordinatenursprung
reflektiert, wo er zur Zeit $\tau_2$ angelange; so mu"s dann sein:
\[
\frac{1}{2}(\tau_0+\tau_2)=\tau_1
\]
oder, indem man die Argumente der Funktion $\tau$ beif"ugt und das Prinzip der Konstanz
der Lichtgeschwindigkeit im ruhenden Systeme anwendet:
\[
\frac{1}{2}\left[ \tau(0,0,0,t)+\tau \left( 0,0,0,\left\{ t+\frac{x'}{V-v}+\frac{x'}{V+v}
\right\} \right) \right] =\tau\left(x',0,0,t+\frac{x'}{V-v}\right)
\]
Hieraus folgt, wenn man $x'$ unendlich klein w"ahlt:
\[
\frac{1}{2}\left(\frac{1}{V-v}+\frac{1}{V+v}\right)\frac{\partial\tau}{\partial t}=
\frac{\partial\tau}{\partial x'}+\frac{1}{V-v}\frac{\partial\tau}{\partial t},
\]
oder
\[
\frac{\partial\tau}{\partial x'}+ \frac{v}{V^2-v^2}\frac{\partial\tau}{\partial t}=0.
\]

Es ist zu bemerken, da"s wir statt des Koordinatenursprunges jeden anderen Punkt als
Ausgangspunkt des Lichtstrahles h"atten w"ahlen k"onnen, und es gilt deshalb die eben
erhaltene Gleichung f"ur alle Werte von $x'$, $y$, $z$.

Eine analoge "Uberlegung --- auf die $H$-Achse und $Z$-Achse angewandt --- liefert, wenn
man beachtet, da"s sich das Licht l"angs dieser Achsen vom ruhenden System aus betrachtet
stets mit der Geschwindigkeit $\sqrt{V^2-v^2}$ fortpflanzt:
\begin{eqnarray*}
\frac{\partial\tau}{\partial y}&=&0\\ \frac{\partial\tau}{\partial z}&=&0\\
\end{eqnarray*}
Aus diesen Gleichungen folgt, da $\tau$ eine \textit{lineare} Funktion ist:
\[
\tau=a\left(t-\frac{v}{V^2-v^2}x'\right),
\]
wobei $a$ eine vorl"aufig unbekannte Funktion $\varphi(v)$ ist und der K"urze haber
angenommen ist, da"s im Anfangspunkte von $k$ f"ur $\tau=0\quad t=0$ sei.

Mit Hilfe dieses Resultates ist es leicht, die Gr"o"sen $\xi$, $\eta$, $\zeta$ zu
ermitteln, indem man durch Gleichungen ausdr"uckt, da"s sich das Licht (wie das Prinzip
der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit in Verbindung mit dem Relativit"atsprinzip
verlangt) auch im bewegten System gemessen mit der Geschwindigkeit $V$ fortpflanzt. F"ur
einen zur Zeit $\tau$=0 in Richtung der wachsenden $\xi$ ausgesandten Lichtstrahl gilt:
\[
\xi=V\tau,
\]
oder\[
\xi=aV\left(t-\frac{v}{V^2-v^2}x'\right).
\]
Nun bewegt sich aber der Lichtstrahl relativ zum Anfangspunkt von $k$ im ruhenden System
gemessen mit der Geschwindigkeit $V-v$, so da"s gilt:
\[
\frac{x'}{V-v}=t.
\]
Setzen wir diesen Wert von $t$ in die Gleichung f"ur $\xi$ ein, so erhalten wir:
\[
\xi=a\frac{V^2}{V^2-v^2}x'.
\]
Auf analoge Weise finden wir durch Betrachtung von l"angs den beiden anderen Achsen
bewegte Lichtstrahlen:
\[
\eta=V\tau=aV\left(t-\frac{v}{V^2-v^2}x'\right),
\]
wobei
\[
\frac{y}{\sqrt{V^2-v^2}}=t; \quad x'=0;
\]
also
\[ \eta=a\frac{V}{\sqrt{V^2-v^2}}y
\]
und
\[
\xi=a\frac{V}{\sqrt{V^2-v^2}}z.
\]

Setzen wir f"ur $x'$ seinen Wert ein, so erhalten wir:
\begin{eqnarray*}
 \tau&=&\varphi(v)\beta\left(t-\frac{v}{V^2}x\right),\\
 \xi&=&\varphi(v)\beta(x-vt),\\
 \eta&=&\varphi(v)y,\\
 \zeta&=&\varphi(v)z,
\end{eqnarray*}
wobei
\[
\beta=\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{V}\right)^2}}
\]
und $\varphi$ eine vorl"aufig unbekannte Funktion von $v$ ist. Macht man "uber die
Anfangslage des bewegten Systems und "uber den Nullpunkt von $\tau$ keinerlei
Voraussetzung, so ist auf den rechten Seiten dieser Gleichungen je eine additive
Konstante zuzuf"ugen.

Wir haben nun zu beweisen, da"s jeder Lichtstrahl sich, im bewegten System gemessen, mit
der Geschwindigkeit $V$ fortpflanzt, falls dies, wie wir angenommen haben, im ruhenden
System der Fall ist; denn wir haben den Beweis daf"ur noch nicht geliefert, da"s das
Prinzip der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit mit dem Relativit"atsprinzip vereinbar sei.

Zur Zeit $t=\tau=0$ werde von dem zu dieser Zeit gemeinsamen Koordinatenursprung beider
Systeme aus eine Kugelwelle ausgesandt, welche sich im System $K$ mit der Geschwindigkeit
$V$ ausbreitet. Ist ($x$, $y$, $z$) ein eben von dieser Welle ergriffener Punkt, so ist
also
\[
x^2+y^2+z^2=V^2t^2.
\]

Diese Gleichung transformieren wir mit Hilfe unserer Transformationsgleichungen und
erhalten nach einfacher Rechnung:
\[
\xi^2+\eta^2+\zeta^2=V^2\tau^2.
\]

Die betrachtete Welle ist also auch im bewegten System betrachtet eine Kugelwelle von der
Ausbreitungsgeschwindigkeit $V$. Hiermit is gezeigt, da"s unsere beiden Grundprinzipien
miteinander vereinbar sind%
%\footnote{Die Gleichungen der Lorentz-Transformation sind einfacher direkt aus der Bedingung
%abzuleiten, da"s vermöge jeder Gleichung die Beziehung $\xi^2+\eta^2+\zeta^2-V^2\tau^2=0$
%die andere $x^2+y^2+z2-V^2t^2=0$ zur Folge haben soll.}.

In den entwickelten Transformationsgleichungen tritt noch eine unbekannte Funktion
$\varphi$ von $v$ auf, welche wir nun bestimmen wollen.

Wir f"uhren zu diesem Zwecke noch ein drittes Koordinatensystem $K'$ ein, welches relativ
zum System $k$ derart in Paralleltranslationsbewegung parallel zur $\Xi$-Achse begriffen
sei, da"s sich dessen Koordinatenursprung mit der Geschwindigkeit $-v$ auf der
$\Xi$-Achse bewege. Zur Zeit $t=0$ m"ogen alle drei Koordinatenanfangspunkte
zusammenfallen und es sei f"ur $t=x=y=z=0$ die Zeit $t'$ des Systems $K'$ gleich Null.
Wir nennen $x'$, $y'$, $z'$ die Koordinaten, im System $K'$ gemessen, und erhalten durch
zweimalige Anwendung unserer Transformationsgleichungen:
\[
\begin{array}{r@{\:=\:}l@{\:=\:}l}
  t' & \varphi(-v)\beta(-v)\left\{\tau+\frac{v}{V^2}\xi\right\} &\varphi(v)\varphi(-v)t, \\
  x' & \varphi(-v)\beta(-v)\{\xi+vt\} &\varphi(v)\varphi(-v)x, \\
  y' & \varphi(-v)\eta & \varphi(v)\varphi(-v)y, \\
  z' & \varphi(-v)\zeta & \varphi(v)\varphi(-v)z.
\end{array}
\]

Da die Beziehungen zwischen $x'$, $y'$, $z'$ und $x$, $y$, $z$ die Zeit $t$ nicht
enthalten, so ruhen die Systeme $K$ und $K'$ gegeneinander, und es ist klar, da"s die
Transformation von $K$ auf $K'$ die identische Transformation sein mu"s. Es ist also:
\[
\varphi(v)\varphi(-v)=1.
\]
Wir fragen nun nach der Bedeutung von $\varphi(v)$. Wir fassen das St"uck der $H$-Achse
des Systems $k$ ins Auge, das zwischen $\xi=0$, $\eta=0$, $\zeta=0$  und $\xi$=0,
$\eta=l$, $\zeta=0$ gelegen ist. Dieses St"uck der $H$-Achse ist ein relativ zum System
$K$ mit der Geschwindigkeit $v$ senkrecht zu seiner Achse bewegter Stab, dessen Enden in
$K$ die Koordinaten besitzen:
\[
x_1=vt,\quad y_1=\frac{l}{\varphi(v)},\quad z_1=0
\]
und
\[
 x_2=vt,\quad y_2=0,\quad z_2=0.
\]
Die L"ange des Stabes, in $K$ gemessen, ist also $l/\varphi(v)$; damit ist die Bedeutung
der Funktion $\varphi$ gegeben. Aus Symmetriegr"unden ist nun einleuchtend, da"s die im
ruhenden System gemessene L"ange eines bestimmten Stabes, welcher senkrecht zu seiner
Achse bewegt ist, nur von der Geschwindigkeit, nicht aber von der Richtung und dem Sinne
der Bewegung abh"angig sein kann. Es "andert sich also die im ruhenden System gemessene
L"ange des bewegten Stabes nicht, wenn $v$ mit $-v$ vertauscht wird. Hieraus folgt:
\[
\frac{l}{\varphi(v)}=\frac{l}{\varphi(-v)}
\]
oder
\[
\varphi(v)=\varphi(-v).
\]
Aus dieser und der vorhin gefundenen Relation folgt, da"s $\varphi(v)=1$ sein mu"s, so
da"s die gefundenen Transformationsgleichungen "ubergehen in:
\begin{eqnarray*}
 \tau&=&\beta \left( t-\frac{v}{V^2}x \right),\\
 \xi&=&\beta(x-vt),\\
 \eta&=&y,\\
 \zeta&=&z,
\end{eqnarray*}
wobei
\[
 \beta=\frac{1}{ \sqrt{ 1-\left( \frac{v}{V} \right)^2 }}.
\]


\subsection{Physikalische Bedeutung der erhalten Gleichungen, bewegte starre K"orper und
bewegte Uhren betreffend.}

Wir betrachten eine starre Kugel\footnote{Das hei"st ein Körper, welcher ruhend
untersucht Kugelgestalt besitzt.} vom Radius $R$, welche relativ zum bewegten System $k$
ruht, und deren Mittelpunkt im Koordinatenursprung von $k$ liegt. Die Gleichung der
Oberfl"ache dieser relativ zum System $K$ mit der Geschwindigkeit $v$ bewegten Kugel ist:
\[
\xi^2+\eta^2+\zeta^2=R^2
\]
Die Gleichung dieser Oberfl"ache ist in $x$, $y$, $z$ ausgedr"uckt zur Zeit $t$=0:
\[
\frac{x^2}{\left(\sqrt{1-\left(\frac{v}{V}\right)^2}\right)^2}+y^2+z^2=R^2.
\]
Ein starrer K"orper, welcher in ruhendem Zustande ausgemessen die Gestalt einer Kugel
hat, hat also in bewegtem Zustande --- vom ruhenden System aus betrachtet --- die Gestalt
eines Rotationsellipsoides mit den Achsen
\[
R\sqrt{1-\left(\frac{v}{V}\right)^2}, R, R.
\]

W"ahrend also die $Y$- und $Z$-Dimension der Kugel (also auch jedes starren K"orpers von
beliebiger Gestalt) durch die Bewegung nicht modifiziert erscheinen, erscheint die
$X$-Dimension im Verh"altnis $1: \sqrt{1-(v/V)^2}$ verk"urzt, also um so st"arker, je
gr"o"ser $v$ ist. F"ur $v$ = $V$ schrumpfen alle bewegten Objekte --- vom "`ruhenden"'
System aus betrachtet --- in fl"achenhafte Gebilde zusammen. F"ur
"Uberlichtgeschwindigkeiten werden unsere "Uberlegungen sinnlos; wir werden "ubrigens in
den folgenden Betrachtungen finden, da"s die Lichtgeschwindigkeit in unserer Theorie
physikalisch die Rolle der unendlich gro"sen Geschwindigkeit spielt.

Es ist klar, da"s die gleichen Resultate von im "`ruhenden"' System ruhenden K"orper
gelten, welche von einem gleichf"ormig bewegten System aus betrachtet werden. ---

Wir denken uns ferner eine der Uhren, welche relativ zum ruhenden System ruhend die Zeit
$t$, relativ zum bewegten System ruhend die Zeit $\tau$ anzugeben bef"ahigt sind, im
Koordinatenursprung von $k$ gelegen und so gerichtet, da"s sie die Zeit $\tau$ angibt.
Wie schnell geht diese Uhr, vom ruhenden System aus betrachtet?

Zwischen die Gr"o"sen $x$, $t$ und $\tau$, welche sich auf den Ort dieser Uhr beziehen,
gelten offenbar die Gleichungen:
\[
\tau=\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{V}\right)^2}}\left(t-\frac{v}{V^2}x\right)
\]
und
\[
 x=vt.
\]
Es ist also
\[
\tau=t\sqrt{1-\left(\frac{v}{V}\right)^2}=t-\left(1-\sqrt{1-\left(\frac{v}{V}\right)^2}\right)t,
\]
woraus folgt, da"s die Angabe der Uhr (im ruhenden System betrachtet) pro Sekunde um
$(1-\sqrt{1-(v/V)^2})$ Sek. oder --- bis auf Gr"o"sen vierter und h"oherer Ordnung --- um
$\frac{1}{2}(v/V)^2$ Sek. zur"uckbleibt.

Hieraus ergibt sich folgende eigent"umliche Konsequenz. Sind in den Punkten $A$ und $B$
von $K$ ruhende, im ruhenden System betrachtet, synchron gehende Uhren vorhanden, und
bewegt man die Uhr in $A$ mit der Geschwindigkeit $v$ auf der Verbindungslinie nach $B$,
so gehen nach Ankunft dieser Uhr in $B$ die beiden Uhren nicht mehr synchron, sondern die
von $A$ nach $B$ bewegte Uhr geht gegen"uber der von Anfang an in $B$ befindlichen um
$\frac{1}{2}tv^2/V^2$ Sek. (bis auf Gr"o"sen vierter und h"oheren Ordnung) nach, wenn $t$
die Zeit ist, welche die Uhr von $A$ nach $B$ braucht.

Man sieht sofort, da"s dies Resultat auch dann noch gilt, wenn die Uhr in einer
beliebigen polygonalen Linie sich von A nach B bewegt, und zwar auch dann, wenn die
Punkte $A$ und $B$ zusammenfallen.

Nimmt man an, da"s das f"ur eine polygonale Linie bewiesene Resultat auch f"ur eine
stetig gekr"ummte Kurve gelte, so erh"alt man den Satz: Befinden sich in $A$ zwei
synchron gehende Uhren und bewegt man die eine derselben auf einer geschlossenen Kurve
mit konstanter Geschwindigkeit, bis sie wieder nach $A$ zur"uckkommt, was $t$ Sek. dauern
m"oge, so geht die letztere Uhr bei ihrer Ankunft in $A$ gegen"uber der unbewegt
gebliebenen um $\frac{1}{2}t(v/V)^2$ Sek. nach. Man schlie"st daraus, da"s eine am
Erd"aquator befindliche Unruhuhr
%\footnote{Im Gegensatz zu "`Pendeluhr"', welche --- physikalisch betrachtet -- ein System ist,
%zu welchem der Erdkörper gehört; dies mu"ste ausgeschlossen werden.}
um einen sehr kleinen Betrag langsamer laufen mu"s als eine genau gleich beschaffene,
sonst gleichen Bedingungen unterworfene, an einem Erdpole befindliche Uhr.

\subsection{Additionstheorem der Geschwindigkeiten.}

In dem l"angs der $X$-Achse des Systems $K$ mit der Geschwindigkeit $v$ bewegten System
$k$ bewege sich ein Punkt gem"a"s den Gleichungen:
\begin{eqnarray*}
\xi   & = & w_\xi\tau,  \\
\eta  & = & w_\eta\tau, \\
\zeta & = & 0,
\end{eqnarray*}
wobei $w_\xi$ und $w_\eta$ Konstanten bedeuten.

Gesucht ist die Bewegung des Punktes relativ zum System $K$. F"uhrt man in die
Bewegungsgleichungen des Punktes mit Hilfe der in \S 3 entwickelten
Transformationsgleichungen die Gr"o"sen $x$, $y$, $z$, $t$ ein, so erh"alt man:
\begin{eqnarray*}
x&=&\frac{w_\xi+v}{1+\frac{vw_\xi}{V^2}}t,\\
y&=&\frac{\sqrt{1-\left(\frac{v}{V}\right)^2}}{1+\frac{vw_\xi}{V^2}}w_\eta t,\\ z&=&0.
\end{eqnarray*}
Das Gesetz vom Parallelogramm der Geschwindigkeiten gilt also nach unserer Theorie nur in
erster Ann"aherung. Wir setzen:
\begin{eqnarray*}
U^2&=&\left(\frac{d x}{d t}\right)^2+\left(\frac{d y}{d t}\right)^2,\\
w^2&=&w_\xi^2+w_\eta^2
\end{eqnarray*}
und
\begin{eqnarray*}
\alpha&=&\arctan\frac{w_y}{w_x};
\end{eqnarray*}
$\alpha$ ist dann als der Winkel zwischen den Geschwindigkeiten $v$ und $w$ anzusehen.
Nach einfacher Rechnung ergibt sich:
\[
U=\frac{\sqrt{(v^2+w^2+2vw\cos\alpha)-\left(\frac{vw\sin\alpha}{V}\right)^2}}{1+\frac{vw\cos\alpha}{V^2}}.
\]
Es ist bemerkenswert, da"s $v$ und $w$ in symmetrischer Weise in den Ausdruck f"ur die
resultierende Geschwindigkeit eingehen. Hat auch $w$ die Richtung der $X$-Achse
($\Xi$-Achse), so erhalten wir:
\[
U=\frac{v+w}{1+\frac{vw}{V^2}}\,.
\]
Aus dieser Gleichung folgt, da"s aus der Zusammensetzung zweier Geschwindigkeiten, welche
kleiner sind als $V$, stets eine Geschwindigkeit kleiner als $V$ resultiert. Setzt man
n"amlich $v=V-\kappa$, $w=V-\lambda$, wobei $\kappa$ und $\lambda$ positiv und kleiner
als $V$ seien, so ist:
\[
U=V\frac{2V-\kappa-\lambda}{2V-\kappa-\lambda+\frac{\kappa\lambda}{V}}<V.
\]

Es folgt ferner, da"s die Lichtgeschwindigkeit $V$ durch Zusammensetzung mit einer
 "`Unterlichtgeschwindigkeit"' nicht ge"andert werden kann. Man erh"alt f"ur
diesen Fall:
\[
U=\frac{V+w}{1+\frac{w}{V}}=V.
\]
Wir h"atten die Formel f"ur $U$ f"ur den Fall, da"s $v$ und $w$ gleiche Richtung
besitzen, auch durch Zusammensetzen zweier Transformationen gem"a"s \S 3 erhalten
k"onnen. F"uhren wir neben den in \S 3 figurierenden Systemen $K$ und $k$ noch ein
drittes, zu $k$ in Parallelbewegung begriffenes Koordinatensystem $k'$ ein, dessen
Anfangspunkt sich auf der $\Xi$-Achse mit der Geschwindigkeit $w$ bewegt, so erhalten wir
zwischen den Gr"o"sen $x$, $y$, $z$, $t$ und der entsprechenden Gr"o"sen von $k'$
Gleichungen, welche sich von den in \S 3 gefundenen nur dadurch unterscheiden, da"s an
Stelle von "`$v$"' die Gr"o"se
\[
\frac{v+w}{1+\frac{vw}{V^2}}
\]
tritt; man sieht daraus, da"s solche Paralleltransformationen --- wie dies sein mu"s ---
eine Gruppe bilden.

Wir haben nun die f"ur uns notwendigen S"atze der unseren zwei Prinzipien entsprechenden
Kinematik hergeleitet und gehen dazu "uber, deren Anwendung in der Elektrodynamik zu
zeigen.

\section{Eektrodynamischer Teil.}

\subsection{Transformationen der Maxwell-Hertzschen Gleichungen f"ur den leeren Raum. "Uber
die Natur der bei Bewegung in einem Magnetfeld auftretenden elektromotorischen Kr"afte.}

Die Maxwell--Hertzschen Gleichungen f"ur den leeren Raum m"ogen g"ultig sein f"ur das
ruhende System $K$, so da"s gelten m"oge:
\[
\begin{array}{r@{\:=\:}l@{\quad}r@{\:=\:}l}
\D\frac{1}{V}\frac{\partial X}{\partial t} & \D\frac{\partial N}{\partial y}-\frac{\partial M}{\partial z}, &
\D\frac{1}{V}\frac{\partial L}{\partial t} & \D\frac{\partial Y}{\partial z}-\frac{\partial Z}{\partial y}, \\
\D\frac{1}{V}\frac{\partial Y}{\partial t} & \D\frac{\partial L}{\partial z}-\frac{\partial N}{\partial x}, &
\D\frac{1}{V}\frac{\partial M}{\partial t} & \D\frac{\partial Z}{\partial x}-\frac{\partial X}{\partial z}, \\
\D\frac{1}{V}\frac{\partial Z}{\partial t} & \D\frac{\partial M}{\partial x}-\frac{\partial L}{\partial y}, &
\D\frac{1}{V}\frac{\partial N}{\partial t} & \D\frac{\partial X}{\partial y}-\frac{\partial Y}{\partial x},
\end{array}
\]
wobei ($X$, $Y$, $Z$) den Vektor der elektrischen, ($L$, $M$, $N$) den der magnetischen
Kraft bedeutet.

Wenden wir auf diese Gleichungen die in \S 3 entwickelte Transformation an, indem wir die
elektromagnetischen Vorg"ange auf das dort eingef"uhrte, mit der Geschwindigkeit $v$
bewegte Koordinatensystem beziehen, so erhalten wir die Gleichungen:
\[
\begin{array}{l@{\:=\:}l@{\;-\;}l}
\D\frac{1}{V}\frac{\partial X}{\partial\tau} &\D\frac{\partial\beta\left(N+\frac{v}{V}Y\right)}{\partial\eta}&
\D\frac{\partial\beta\left(M-\frac{v}{V}Z\right)}{\partial\zeta}, \\
\D\frac{1}{V}\frac{\partial\beta\left(Y-\frac{v}{V}N\right)}{\partial\tau} &\D\frac{\partial L}{\partial\zeta}&
\D\frac{\partial\beta\left(N-\frac{v}{V}Y\right)}{\partial\xi}, \\
\D\frac{1}{V}\frac{\partial\beta\left(Z+\frac{v}{V}M\right)}{\partial\tau} &
\D\frac{\partial\beta\left(M+\frac{v}{V}Z\right)}{\partial\xi} & \D\frac{\partial L}{\partial\eta},\\
\D\frac{1}{V}\frac{\partial L}{\partial\tau} & \D\frac{\partial\beta\left(Y-\frac{v}{V}N\right)}{\partial\zeta}&
\D\frac{\partial\beta\left(Z+\frac{v}{V}M\right)}{\partial\eta}, \\
\D\frac{1}{V}\frac{\partial\beta\left(M+\frac{v}{V}Z\right)}{\partial\tau} &
\D\frac{\partial\beta\left(Z+\frac{v}{V}M\right)}{\partial\xi}& \D\frac{\partial X}{\partial\zeta},\\
\D\frac{1}{V}\frac{\partial\beta\left(N-\frac{v}{V}Y\right)}{\partial\tau} & \D\frac{\partial X}{\partial\eta}&
\D\frac{\partial\beta\left(Y-\frac{v}{V}N\right)}{\partial\xi},
\end{array}
\]
wobei
\[
\beta=\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{V}\right)^2}}.
\]

Das Relativit"atsprinzip vordert nun, da"s die Maxwell--Hertzschen Gleichungen f"ur den
leeren Raum auch im System $k$ gelten, wenn sie im System $K$ gelten, d. h. da"s f"ur die
im bewegten System $k$ durch ihre ponderomotorischen Wirkungen auf elektrische bez.
magnetische Massen definierten Vektoren der elektrischen und magnetischen Kraft (($X'$,
$Y'$, $Z'$) und ($L'$, $M'$, $N'$)) des bewegten Systems $k$ die Gleichungen gelten:
\[
\begin{array}{r@{\:=\:}l@{\quad}r@{\:=\:}l}
\D\frac{1}{V}\frac{\partial X'}{\partial\tau} &
\D\frac{\partial N'}{\partial\eta}-\frac{\partial M'}{\partial\zeta}, &
\D\frac{1}{V}\frac{\partial L'}{\partial\tau} &
\D\frac{\partial Y'}{\partial\zeta}-\frac{\partial Z'}{\partial\eta},\\
\D\frac{1}{V}\frac{\partial Y'}{\partial\tau} &
\D\frac{\partial L'}{\partial\zeta}-\frac{\partial N'}{\partial\xi}, &
\D\frac{1}{V}\frac{\partial M'}{\partial\tau} &
\D\frac{\partial Z'}{\partial\xi}-\frac{\partial X'}{\partial\zeta}, \\
\D\frac{1}{V}\frac{\partial Z'}{\partial\tau} &
\D\frac{\partial M'}{\partial\xi}-\frac{\partial L'}{\partial\eta}, &
\D\frac{1}{V}\frac{\partial N'}{\partial\tau} &
\D\frac{\partial X'}{\partial\eta}-\frac{\partial Y'}{\partial\xi}.
\end{array}
\]

Offenbar m"ussen nun die beiden f"ur das System $k$ gefundenen Gleichungssysteme genau
dasselbe ausdr"ucken, da beide Gleichungssysteme den Maxwell--Hertzschen Gleichungen f"ur
das System $K$ "aquivalent sind. Da die Gleichungen beider Systeme bis auf die Vektoren
darstellenden Symbole "ubereinstimmen, so folgt, da"s die in den Gleichungssystemen an
entsprechenden Stellen auftretenden Funktionen bis auf einen f"ur alle Funktionen des
einen Gleichungssystems gemeinsamen, von $\xi$, $\eta$, $\zeta$ und $\tau$ unabh"angigen,
eventuell von $v$ abh"angigen Faktor $\psi(v)$ "ubereinstimmen m"ussen. Es gelten also
die Beziehungen:
\[
\begin{array}{r@{\:=\:}l@{\qquad}r@{\:=\:}l}
  X' &\psi(v)X, & L' &\psi(v)L, \\
  Y' &\psi(v)\beta\left(Y-\frac{v}{V}N\right), & M'&\psi(v)\beta\left(M+\frac{v}{V}Z\right), \\
  Z' &\psi(v)\beta\left(Z+\frac{v}{V}M\right), & N'&\psi(v)\beta\left(N-\frac{v}{V}Y\right).
\end{array}
\]

Bildet man nun die Umkehrung dieses Gleichungssystems, erstens durch Aufl"osen der soeben
erhaltenen Gleichungen, zweitens durch Anwendung der Gleichungen auf die inverse
Transformation (von $k$ auf $K$), welche durch die Geschwindigkeit $-v$ charakterisiert
ist, so folgt, indem man ber"ucksichtigt, da"s die beiden so erhaltenen Gleichungssysteme
identisch sein m"ussen:
\[
\psi(v)\cdot\psi(-v)=1.
\]
Ferner folgt aus Symmetriegr"unden\footnote{Ist z.B. $X=Y=Z=L=M=0$ und $N\ne 0$, so ist
aus Symmetriegründen klar, da"s bei Zeichenwechsel von $v$ ohne Änderung des numerischen
Wertes auch $Y'$ sein Vorzeichen ändern mu"s, ohne seinen numerischen Wert zu ändern.}
\[
\psi(v)=\psi(-v);
\]
es ist also
\[
\psi(v)=1,
\]
und unsere Gleichungen nehmen die Form an:
\[
\begin{array}{r@{\:=\:}l@{\qquad}r@{\:=\:}l}
  X' &X, & L' &L, \\
  Y' &\beta\left(Y-\frac{v}{V}N\right), & M'&\beta\left(M+\frac{v}{V}Z\right), \\
  Z' &\beta\left(Z+\frac{v}{V}M\right), & N'&\beta\left(N-\frac{v}{V}Y\right).
\end{array}
\]
Zur Interpretation dieser Gleichungen bemerken wir folgendes. Es liegt eine punktf"ormige
Elektrizit"atsmenge vor, welche im ruhenden System $K$ gemessen von der Gr"o"se "`eins"'
sei, d. h. im ruhenden System ruhend auf eine gleiche Elektrizit"atsmenge im Abstand 1 cm
die Kraft 1 Dyn aus"ube. Nach dem Relativit"atsprinzip ist diese elektrische Masse auch
im bewegten System gemessen von der Gr"o"se "`eins"'. Ruht diese Elektrizit"atsmenge
relativ zum ruhenden System, so ist definitionsgem"a"s der Vektor ($X$, $Y$, $Z$) gleich
der auf sie wirkenden Kraft. Ruht die Elektrizit"atsmenge gegen"uber dem bewegten System
(wenigstens in dem betreffenden Augenblick), so ist die auf sie wirkende, in dem bewegten
System gemessene Kraft gleich dem Vektor ($X'$, $Y'$, $Z'$). Die ersten drei der obigen
Gleichungen lassen sich mithin auf folgende zwei Weisen in Worte kleiden:

1. Ist ein punktf"ormiger elektrischer Einheitspol in einem elektromagnetischen Felde
bewegt, so wirkt auf ihn au"ser der elektrischen Kraft eine
 "`elektromotorische Kraft"', welche unter Vernachl"assigung von mit der zweiten
und h"oheren Potenzen von $v/V$ multiplizierten Gliedern gleich ist dem mit der
Lichtgeschwindigkeit dividierten Vektorprodukt der Bewegungsgeschwindigkeit des
Einheitspoles und der magnetischen Kraft. (Alte Ausdrucksweise.)

2. Ist ein punktf"ormiger elektrischer Einheitspol in einem elektromagnetischen Felde
bewegt, so ist die auf ihn wirkende Kraft gleich der an dem Orte des Einheitspoles
vorhandenen elektrischen Kraft, welche man durch Transformation des Feldes auf ein
relativ zum elektrischen Einheitspol ruhendes Koordinatensystem erh"alt. (Neue
Ausdrucksweise.)

Analoges gilt "uber die "`magnetomotorischen Kr"afte"'. Man sieht, da"s in der
entwickelten Theorie die elektromotorische Kraft nur die Rolle eines Hilfsbegriffes
spielt, welcher seine Einf"uhrung dem Umstande verdankt, da"s die elektrischen und
magnetischen Kr"afte keine von dem Bewegungszustande des Koordinatensystems unabh"angige
Existenz besitzen.

Es ist ferner klar, da"s die in der Einleitung angef"uhrte Asymmetrie bei der Betrachtung
der durch Relativbewegung eines Magneten und eines Leiters erzeugten Str"ome
verschwindet. Auch werden die Fragen nach dem "`Sitz"' der elektrodynamischen
elektromotorischen Kr"afte (Unipolarmaschinen) gegenstandslos.


\subsection{Theorie des Doppelerschen Prinzips und der Aberration.}

Im Systeme $K$ befinde sich sehr ferne vom Koordinatenursprung eine Quelle
elektrodynamischer Wellen, welche in einem den Koodinatenursprung enthalten Raumteil mit
gen"ugender Ann"aherung durch die Gleichungen dargestellt sei:
\[
\begin{array}{r@{\:=\:}l@{\qquad}r@{\:=\:}l@{\qquad}c}
  X &X_0\sin\Phi, & L &L_0\sin\Phi,  &    \\
  Y &Y_0\sin\Phi, & M &M_0\sin\Phi,  & \Phi=\omega\left(t-\frac{ax+by+cz}{V}\right).  \\
  Z &Z_0\sin\Phi, & N &N_0\sin\Phi,  &
\end{array}
\]
Hierbei sind $(X_0,Y_0,Z_0)$ und $(L_0,M_0,N_0)$ die Vektoren, welche die Amplitude des
Wellenzuges bestimmen, $a$, $b$, $c$ die Richtungskosinus der Wellennormalen.

Wir fragen nach der Beschaffenheit dieser Wellen, wenn dieselben von einem in dem
bewegten System $k$ ruhenden Beobachter untersucht werden. --- Durch Anwendung der in \S
6 gefundenen Transformationsgleichungen f"ur die elektrischen und magnetischen Kr"afte
und der in \S 3 gefunden Transformationsgleichungen f"ur die Koordinaten und die Zeit
erhalten wir unmittelbar:
\[
\begin{array}{r@{\:=\:}r@{\qquad}r@{\:=\:}l@{\qquad}r@{\:=\:}l}
X' &X_0\sin\Phi', & L' &L_0\sin\Phi',    \\
Y' &\beta\left(Y_0-\frac{v}{V}N_0\right)\sin\Phi', & M' &\beta\left(M_0+\frac{v}{V}Z_0\right)\sin\Phi', \\
Z' &\beta\left(Z_0+\frac{v}{V}M_0\right)\sin\Phi', & N' &\beta\left(N_0-\frac{v}{V}Y_0\right)\sin\Phi',
\end{array}
\]
\[
\Phi'=\omega'\left(\tau-\frac{a'\xi+b'\eta+c'\zeta}{V}\right),
\]
wobei
\begin{eqnarray*}
\omega'&=&\omega\beta\left(1-a\frac{v}{V}\right),\\
a'&=&\frac{a-\frac{v}{V}}{1-a\frac{v}{V}},\\
b'&=&\frac{b}{\beta\left(1-a\frac{v}{V}\right)},\\
c'&=&\frac{c}{\beta\left(1-a\frac{v}{V}\right)}
\end{eqnarray*}
gesetzt ist.

Aus der Gleichung f"ur $\omega'$ folgt: Ist ein Beobachter relativ zu einer unendlich
fernen Lichtquelle von der Frequenz $\nu$ mit der Geschwindigkeit $v$ derart bewegt, da"s
die Verbindungslinie "`Lichtquelle-Beobachter"' mit der auf ein relativ zur Lichtquelle
ruhendes Koordinatensystem bezogenen Geschwindigkeit des Beobachters den Winkel $\varphi$
bildet, so ist die von dem Beobachter wahrgenommene Frequenz $\nu'$ des Lichtes durch die
Gleichung gegeben:
\[
\nu'=\nu\frac{1-\cos\varphi\frac{v}{V}}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{V}\right)^2}}\,.
\]
Dies ist das Doppelersche Prinzip f"ur beliebige Geschwindigkeiten. F"ur $\varphi=0$
nimmt die Gleichung die "ubersichtliche Form an:
\[
\nu'=\nu\sqrt{\frac{1-\frac{v}{V}}{1+\frac{v}{V}}}\,.
\]
Man sieht, da"s --- im Gegensatz zu der "ublichen Auffassung --- f"ur $v=-\infty$,
$\nu=\infty$ ist.

Nennt man $\varphi'$ den Winkel zwischen Wellennormale (Strahlrichtung) im bewegten
System und der Verbindungslinie "`Lichtquelle--Beobachter"', so nimmt die Gleichung f"ur
$a'$ die Form an:
\[
\cos\varphi'=\frac{\cos\varphi-\frac{v}{V}}{1-\frac{v}{V}\cos\varphi}\,.
\]
Diese Gleichung dr"uckt das Abberationsgesetz in seiner allgemeinsten Form aus. Ist
$\varphi=\pi/2$ , so nimmt die Gleichung die einfache Gestalt an:
\[
\cos\varphi'=-\frac{v}{V}.
\]

Wir haben nun noch die Amplitude der Wellen, wie dieselbe im bewegten System erscheint,
zu suchen. Nennt man $A$ bzw. $A'$ die Amplitude der elektrischen oder magnetischen Kraft
im ruhenden bzw. im bewegten System gemessen, so erh"alt man:
\[
A'^2=A^2\frac{\left(1-\frac{v}{V}\cos\varphi\right)^2}{1-\left(\frac{v}{V}\right)^2},
\]
welche Gleichung f"ur $\varphi=0$ in die einfachere "ubergeht:
\[
A'^2=A^2\frac{1-\frac{v}{V}}{1+\frac{v}{V}}.
\]

Es folgt aus den entwickelten Gleichungen, da"s f"ur einen Beobachter, der sich mit der
Geschwindigkeit $V$ einer Lichtquelle n"aherte, diese Lichtquelle unendlich intensiv
erscheinen m"u"ste.

\subsection{Transformation der Energie der Lichtstrahlen. Theorie des auf vollkommene
Spiegel ausge"ubten Strahlungsdruckes.}

Da $A^2/8\pi$ gleich der Lichtenergie pro Volumeneinheit ist, so haben wir nach dem
Relativit"atsprinzip $A'^2/8\pi$ als die Lichtenergie im bewegten System zu betrachten.
Es w"are daher $A'^2/A^2$ das Verh"altnis der "`bewegt gemessenen"' und "`ruhend
gemessenen "' Energie eines bestimmten Lichtkomplexes, wenn das Volumen eines
Lichtkomplexes in $K$ gemessen und in $k$ gemessen das gleiche w"are. Dies ist jedoch
nicht der Fall. Sind $a$, $b$, $c$ die Richtungskosinus der Wellennormalen des Lichtes im
ruhenden System, so wandert durch die Oberfl"achenelemente der mit Lichtgeschwindigkeit
bewegten Kugelfl"ache
\[
(x-Vat)^2+(y-Vbt)^2+(z-Vct)^2=R^2
\]
keine Energie hindurch; wir k"onnen daher sagen, da"s diese Fl"ache dauernd denselben
Lichtkomplex umschlie"st. Wir fragen nach der Energiemenge, welche diese Fl"ache im
System $k$ betrachtet umschlie"st, d. h. nach der Energie des Lichtkomplexes reletiv zum
System $k$.

Die Kugelfl"ache ist --- im bewegten System betrachtet --- eine Ellipsoidfl"ache, welche
zur Zeit $\tau = 0$ die Gleichung besitzt:
\[
(\beta\xi-a\beta\frac{v}{V}\xi)^2+(\eta-b\beta\frac{v}{V}\xi)^2+(\zeta-c\beta\frac{v}{V}\xi)^2=R^2.
\]
Nennt man $S$ das Volumen der Kugel, $S'$ dasjenige dieses Ellipsoides, so ist, wie eine
einfache Rechnung zeigt:
\[
\frac{S'}{S}=\frac{\sqrt{1-\left(\frac{v}{V}\right)^2}}{1-\frac{v}{V}\cos\varphi}\,.
\]
Nennt man also $E$ die im ruhenden System gemessene, $E'$ die im bewegten System
gemessene Lichtenergie, welche von der betrachteten Fl"ache umschlossen wird, so erh"alt
man:
\[
\frac{E'}{E}=\frac{\frac{A'^2}{8\pi}S'}{\frac{A^2}{8\pi}S}=
\frac{1-\frac{v}{V}\cos\varphi}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{V}\right)^2}},
\]
welche Formel f"ur $\varphi=0$ in die einfachere "ubergeht:
\[
\frac{E'}{E}=\sqrt{\frac{1-\frac{v}{V}}{1+\frac{v}{V}}}.
\]

Es ist bemerkenswert, da"s die Energie und die Frequenz eines Lichtkomplexes sich nach
demselben Gesetze mit dem Bewegungszustande des Beobachters "andern.

Es sei nun die Koordinatenebene $\xi=0$ eine vollkommen spiegelnde Fl"ache, an welcher
die im letzten Paragraph betrachteten ebenen Wellen reflektiert werden. Wir fragen nach
dem auf die spiegelnde Fl"ache ausge"ubten Lichtdruck und nach der Richtung, Frequenz und
Intensit"at des Lichtes nach der Reflexion.

Das einfallende Licht sei durch die Gr"o"sen $A$, $\cos \varphi$, $\nu$ (auf das System
$K$ bezogen) definiert. Von $k$ aus betrachtet sind die entsprechenden Gr"o"sen :
\begin{eqnarray*}
A'&=&A\frac{1-\vdV\cos\varphi}{\sqem}\, ,\\
\cos\varphi'&=&\frac{\cos\varphi-\vdV}{1-\vdV\cos\varphi}\, ,\\
\nu'&=&\nu\frac{1-\frac{v}{V}\cos\varphi}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{V}\right)^2}}\, .
\end{eqnarray*}
Für das reflektierte Licht erhalten wir, wenn wir den Vorgang auf das System $k$
beziehen:
\begin{eqnarray*}
A''&=&A'\, ,\\
\cos\varphi''&=&-\cos\varphi'\, ,\\
\nu''&=&\nu'\, .
\end{eqnarray*}
Endlich erhält man durch Rücktransformation aufs ruhende System $K$ für das reflektierte
Licht:
\begin{eqnarray*}
A'''&=&A''\frac{1+\vdV\cos\varphi''}{\sqem}=A\frac{1-2\vdV\cos\varphi+\vdVq}{1-\vdVq}\, ,\\
\cos\varphi'''&=&\frac{\cos\varphi''+\vdV}{1+\vdV\cos\varphi''}=-\frac{1-2\vdV\cos\varphi+\vdVq}
{\left(1-\vdV\right)^2}\, ,\\
 \nu'''&=&\nu''\frac{1+\vdV\cos\varphi''}{\sqem}=\nu\frac{1-2\vdV\cos\varphi+\vdVq}{\left(1-\vdV\right)^2}\, .
\end{eqnarray*}

Die auf die Flächeneinheit des Spiegels pro Zeiteinheit auftreffende (im ruhenden System
gemessene) Energie ist offenbar $A^2/8\pi(V\cos\varphi-v)$. Die von der Flächeneinheit
des Spiegels in der Zeiteinheit sich entfernende Energie ist $A'''^2/8\pi(-V\cos\varphi'''+v)$.
Die Differenz dieser beiden Ausdrücke ist nach dem Energieprinzip die vom Lichtdruck in
der Zeiteinheit geleistete Arbeit. Setzt man die letztere gleich dem Produkt $P\cdot v$,
wobei $P$ der Lichtdruck ist, so erhält man:
\[
P=2\frac{A^2}{8\pi}\frac{\left(\cos\varphi-\frac{v}{V}\right)^2}{1-\left(\frac{v}{V}\right)^2}.
\]
In erster Annäherung erhält man in Übereinstimmung mit der Erfahrung und mit anderen
Theorien
\[
P=2\frac{A^2}{8\pi}\cos^2\varphi.
\]

Nach der hier benutzten Methode können alle Probleme der Optik bewegter Körper gelöst
werden. Das Wesentliche ist, da"s die elektrische und magnetische Kraft des Lichtes,
welches durch einen bewegten Körper beeinflu"st wird, auf ein relativ zu den Körper
ruhendes Koordinatensystem transformiert werden. Dadurch wird jedes Problem der Optik
bewegter Körper auf eine Reihe von Problemen der Optik ruhender Körper zurückgeführt.


\subsection{Transformation der Maxwell--Hertzschen Gleichungen mit Berücksichtigung der
Konvektionsstr"ome.}

Wir gehen aus von den Gleichungen:
\[
\begin{array}{r@{\:=\:}l@{\quad}r@{\:=\:}l}
\D\frac{1}{V}\left\{u_x\varrho+\frac{\partial X}{\partial t}\right\} &
\D\frac{\partial N}{\partial y}-\frac{\partial M}{\partial z}, &
\D\frac{1}{V}\frac{\partial L}{\partial t} &
\D\frac{\partial Y}{\partial z}-\frac{\partial Z}{\partial y},\\
\D\frac{1}{V}\left\{u_y\varrho+\frac{\partial Y}{\partial t}\right\} &
\D\frac{\partial L}{\partial z}-\frac{\partial N}{\partial x}, &
\D\frac{1}{V}\frac{\partial M}{\partial t} &
\D\frac{\partial Z}{\partial x}-\frac{\partial X}{\partial z}, \\
\D\frac{1}{V}\left\{u_z\varrho+\frac{\partial Z}{\partial t}\right\} &
\D\frac{\partial M}{\partial x}-\frac{\partial L}{\partial y}, &
\D\frac{1}{V}\frac{\partial N}{\partial t} &
\D\frac{\partial X}{\partial y}-\frac{\partial Y}{\partial x},
\end{array}
\]
wobei
\[
\varrho = \frac{\partial X}{\partial x} + \frac{\partial
Y}{\partial y} + \frac{\partial Z}{\partial z}
\]
die 4$\pi$-fache Dichte der Elektrizit"at und $(u_x, u_y, u_z)$ den Geschwindigkeitsfaktor der
Elektrizit"at bedeutet. Denkt man sich die elektrischen Massen unver"anderlich an kleine, starre
K"orper (Ionen, Elektronen) gebunden so sind diese Gleichungen, welche die elektromagnetische
Grundlage der Lorentzschen Elektrodynamik und Optik bewegter K"orper.

Transformiert man diese Gleichungen, welche im System $K$ gelten mögen, mit Hilfe der
Transformationsgleichungen von \S 3 und \S 6 auf das System $k$, so erh"alt man die
Gleichungen:
\[
\begin{array}{r@{\:=\:}l@{\quad}r@{\:=\:}l}
\D\frac{1}{V}\left\{u_\xi\varrho'+\frac{\partial X'}{\partial\tau}\right\} &
\D\frac{\partial N'}{\partial\eta}-\frac{\partial M'}{\partial\zeta}, &
\D\frac{1}{V}\frac{\partial L'}{\partial\tau} &
\D\frac{\partial Y'}{\partial\zeta}-\frac{\partial Z'}{\partial\eta},\\
\D\frac{1}{V}\left\{u_\eta\varrho'+\frac{\partial Y'}{\partial\tau}\right\} &
\D\frac{\partial L'}{\partial\zeta}-\frac{\partial N'}{\partial\xi}, &
\D\frac{1}{V}\frac{\partial M'}{\partial\tau} &
\D\frac{\partial Z'}{\partial\xi}-\frac{\partial X'}{\partial\zeta}, \\
\D\frac{1}{V}\left\{u_\zeta\varrho'+\frac{\partial Z'}{\partial\tau}\right\} &
\D\frac{\partial M'}{\partial\xi}-\frac{\partial L'}{\partial\eta}, &
\D\frac{1}{V}\frac{\partial N'}{\partial\tau} &
\D\frac{\partial X'}{\partial\eta}-\frac{\partial Y'}{\partial\xi},
\end{array}
\]
wobei
\begin{eqnarray*}
\frac{u_x-v}{1-\frac{u_x v}{V^2}}&=&u_\xi, \\
\frac{u_y}{\beta\left(1-\frac{u_x v}{V^2}\right)}&=&u_\eta,\quad\varrho = \frac{\partial X'}{\partial\xi}
+ \frac{\partial Y'}{\partial\eta} + \frac{\partial Z'}{\partial\zeta},\\
\frac{u_z}{\beta\left(1-\frac{u_x v}{V^2}\right)}&=&u_\zeta.
\end{eqnarray*}
Da --- wie aus dem Additionstheorem der Geschwindigkeiten (\S 5) folgt --- der Vektor
$(u_\xi, u_\eta, u_\zeta)$ nichts anderes ist als die Geschwindigkeit der elektrischen
Massen im System $k$ gemessen, so ist damit gezeigt, da"s unter Zugrundelegung  unserer
kinematischen Prinzipien die elektrodynamische Grundlage der Lorentzschen Theorie der
Elektrodynamik bewegter Körper dem Relativit"atsprinzip entspricht.

Es m"oge noch kurz bemerkt werden, da"s aus den entwickelten Gleichungen leicht der
folgende wichtige Satz gefolgert werden kann: Bewegt sich ein elektrisch geladener
K"orper beliebig im Raume und "andert sich hierbei seine Ladung nicht, von einem mit dem
Körper bewegten Koordinatensystems aus betrachtet, so bleibt seine Ladung auch --- von
dem "`ruhenden"' System $K$ aus betrachtet --- konstant.

\subsection{Dynamik des (langsamen beschleunigten) Elektrons.}

In einem elektromagnetischen Felde bewege sich ein punktförmiges, mit einer elektrischen
Ladung $\varepsilon$ versehenes Teilchen (im folgenden "`Elektron"' genannt), "uber
dessen Bewegungsgesetz wir nun folgendes annehmen:

Ruht das Elektron in einer bestimmten Epoche, so folgt in dem n"achsten Zeitteilchen die
Bewegung des Elektron nach den Gleichungen
\begin{eqnarray*}
\mu\,\frac{d^2 x}{d\,t^2}&=&\varepsilon X \\
\mu\,\frac{d^2 y}{d\,t^2}&=&\varepsilon Y \\
\mu\,\frac{d^2 z}{d\,t^2}&=&\varepsilon Z \, , \\
\end{eqnarray*}
wobei $x, y, z$ die Koordinaten des Elektrons, $\mu$ die Masse des Elektrons bedeutet,
sofern dasselbe langsam bewegt ist.

Es besitze nun zweitens das Elektron in einer gewissen Zeitepoche
die Geschwindigkeit $v$. Wir suchen das Gesetz, nach welchem sich
das Elektron im unmittelbar darauf folgenden Zeitteilchen bewegt.

Ohne die Allgemeinheit der Betrachtung zu beeinflussen, k"onnen und wollen wir annehmen,
da"s das Elektron in dem Momente, wo wir es ins Auge fassen, sich im Koordinatensprung
befinde und sich l"angs der $X$-Achse des System $K$ mit der Geschwindigkeit $v$ bewege.
Es ist dann einleuchtend, da"s das Elektron im genannten Momente ($t= 0$) relativ zu
einem l"angs der $X$-Achse mit der konstanten Geschwindigkeit $v$ parallelbewegten
Koordinatensystem $k$ ruht.

Aus der oben gemachten Voraussetzung in Verbindung mit dem Relativit"atsprinzip ist klar,
da"s sich das Elektron in der unmittelbar folgenden Zeit (f"ur kleine Werte von $t$) vom
System $k$ aus betrachtet nach den Gleichungen bewegt:
\begin{eqnarray*}
\mu\,\frac{d^2 \xi}{d\,\tau^2}&=&\varepsilon X', \\
\mu\,\frac{d^2 \eta}{d\,\tau^2}&=&\varepsilon Y', \\
\mu\,\frac{d^2 \zeta}{d\,\tau^2}&=&\varepsilon Z', \\
\end{eqnarray*}
wobei die Zeichen $\xi, \eta, \zeta, \tau, X', Y',Z'$ sich auf das System $k$ beziehen.
Setzen wir noch fest, da"s f"ur $t = x = y = z = 0\quad\tau = \xi = \eta =\zeta = 0$ sein
soll, so gelten die Transformationsgleichungen der \S\S 3 und 6, so da"s gilt:
\[
\begin{array}{r@{\:=\:}l@{\quad}r@{\:=\:}l}
  \tau & \beta\left(t-\frac{v}{V^2}x\right), &\multicolumn{2}{c}{} \\
  \xi & \beta(x-vt), & X' & X, \\
  \eta & y & Y' & \beta\left(Y-\vdV N\right), \\
  \zeta & z & Z' & \beta\left(Z+\vdV M\right).
\end{array}
\]

Mit Hilfe dieser Gleichungen transformieren wir die obigen Bewegungsgleichungen vom
System $k$ auf das System $K$ und erhalten:

\noindent
(A)\hspace*{3.5cm }\parbox{6cm}{\[
\left\{
\begin{array}{r@{\:=\:}l}
\D\frac{d^2 x}{d\, t^2} & \D\frac{\varepsilon}{\mu}\frac{1}{\beta^3} X, \\
\D\frac{d^2 y}{d\, t^2} & \D\frac{\varepsilon}{\mu}\frac{1}{\beta^2}\left(Y-\vdV N\right), \\
\D\frac{d^2 z}{d\, t^2} & \D\frac{\varepsilon}{\mu}\frac{1}{\beta^2}\left(Z-\vdV M\right).
\end{array} \right.
\]}

Wir fragen nun in Anlehnung an die "ubliche Betrachtungsweise nach
der "`longitudinalen"' und "`transversalen"' Masse des bewegten
Elektrons. Wir schreiben die Gleichungen (A) in der Form
\begin{eqnarray*}
\mu\beta^3\frac{d^2 x}{d\, t^2}&=&\varepsilon X=\varepsilon X', \\
\mu\beta^2\frac{d^2 y}{d\, t^2}&=&\varepsilon\beta\left(Y-\vdV N\right)=\varepsilon Y', \\
\mu\beta^2\frac{d^2 z}{d\, t^2}&=&\varepsilon\beta\left(Z-\vdV M\right)=\varepsilon Z'
\end{eqnarray*}
und bemerken zun"achst, da"s $\varepsilon X', \varepsilon Y', \varepsilon Z'$ die
Komponenten der auf das Elektron wirkenden ponderomotorischen Kraft sind, und zwar in
einem in diesem Moment mit dem Elektron mit gleicher Geschwindigkeit wie dieses bewegten
System betrachtet. (Diese Kraft k"onnte beispielsweise mit einer im letzten System
ruhenden Federwage gemessen werden.) Wenn wir nun diese Kraft schlechtweg "`die auf das
Elektron wirkende Kraft"' nennen und die Gleichung \
\[
\mathrm{Massenzahl} \times \mathrm{Beschleunigungszahl} = \mathrm{Kraftzahl}
\]
aufrechterhalten, und wenn wir ferner festsetzen, da"s die Beschleunigungen  im ruhenden
System $K$ gemessen werden sollen, so erhalten wir aus den obigen Gleichungen:
\begin{eqnarray*}
\mbox{Longitudinale Masse}& = & \frac{\mu}{\left( \sqrt{1-\left (\frac{v}{V} \right
)^2} \right )^3} \, ,  \\
\mbox{Transversale Masse} & = & \frac{\mu}{1 - \left(\frac{v}{V}
\right ) ^2} \, .
\end{eqnarray*}

Nat"urlich w"urde man bei anderer Definition der Kraft und der Beschleunigung andere
Zahlen f"ur die Massen erhalten; man ersieht daraus, da"s man bei der Vergleichung
verschiedener Theorien der Bewegung des Elektrons sehr vorsichtig verfahren mu"s.

Wir bemerken, da"s diese Resultate "uber die Masse auch f"ur die ponderablen materiellen
Punkte gilt; denn ein ponderabler Punkt kann durch Zuf"ugen einer \textit{beliebig
kleinen} elektrischen Ladung zu einem Elektron (in unserem Sinne) gemacht werden.

Wir bestimmen die kinetische Energie des Elektrons. Bewegt sich ein Elektron vom
Koordinatenursprung des Systems $K$ aus mit der Anfangsgeschwindigkeit 0 best"andig auf
der $X$-Achse unter der Wirkung einer elektrostatischen Kraft $X$, so ist klar, da"s die
dem elektrostatischen Felde entzogene Energie den Wert $\int \varepsilon X d\,x$ hat. Da
das Elektron langsam beschleunigt sein soll und infolgedessen keine Energie in Form von
Strahlung abgeben m"oge, so mu"s die dem elektrostatischen Felde entzogene Energie gleich
der Bewegungsenergie $W$ des Elektrons gesetzt werden. Man erh"alt daher, indem man
beachtet, da"s w"ahrend des ganzen betrachteten Bewegungsvorganges die erste der
Gleichungen (A) gilt:
\[
W =\int\varepsilon X d x  = \int_0^v \beta^3 vdv = \mu V^2 \left\{
\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{V}\right)^2}} - 1 \right\}.
\]

$W$ wird also f"ur $v=V$ unendlich gro"s. "Uberlichtgeschwindigkeiten haben --- wie bei
unseren fr"uheren Resultaten --- keine Existenzm"oglichkeit.

Auch dieser Ausdruck f"ur die kinetische Energie mu"s dem oben angef"uhrten Argument
zufolge ebenso f"ur ponderable Massen gelten.

Wir wollen nun die aus dem Gleichungssystem (A) resultierenden, dem Experimente
zug"anglichen Eigenschaften der Bewegung des Elektrons aufz"ahlen.

1. Aus der zweiten Gleichung des Systems (A) folgt, da"s eine elektrische Kraft $Y$ und
eine magnetische Kraft $N$ dann gleich stark ablenkend wirken auf ein mit der
Geschwindigkeit $v$ bewegtes Elektron, wenn $Y = N \cdot v/V$. Man ersieht also, da"s die
Ermittelung der Geschwindigkeit des Elektrons aus dem Verh"altnis der magnetischen
Ablenkbarkeit $A_m$ und der elektrischen Ablenkbarkeit $A_e$ nach unserer Theorie f"ur
beliebige Geschwindigkeiten m"oglich ist durch Anwendung des Gesetzes:
\[
\frac{A_m}{A_e} = \frac{v}{V}.
\]

Diese Beziehung ist der Pr"ufung durch das Experiment zug"anglich, da die Geschwindigkeit
des Elektrons auch direkt, z.B. mittels rasch oszillierender elektrischer und
magnetischer Felder, gemessen werden kann.

2. Aus der Ableitung f"ur die kinetische Energie des Elektrons folgt, da"s zwischen der
durchlaufenen Potentialdifferenz und der erlangten Geschwindigkeit $v$ des Elektrons die
Beziehung gelten mu"s :
\[
P = \int X\,dx = \frac{\mu}{\varepsilon} V^2 \left\{ \frac{1}{\sqrt{1-\left( \frac{v}{V}
\right )^2}} - 1 \right\}.
\]

3. Wir berechnen den Kr"ummungsradius $R$ der Bahn, wenn eine senkrecht zur
Geschwindigkeit des Elektrons wirkende magnetische Kraft $N$ (ale einzige ablenkende
Kraft) vorhanden ist. Aus der zweiten der Gleichungen (A) erhalten wir:
\[
- \frac{d^2y}{dt^2} =\frac{v^2}{R} = \frac{\varepsilon}{\mu}
\frac{v}{V} N \cdot \sqrt{1 - \left( \frac{v}{V} \right ) ^2}
\]
oder
\[
R = V^2 \frac{\mu}{\varepsilon} \cdot \frac {\frac{v}{V}}
{\sqrt{1- \left ( \frac{v}{V} \right )^2}} \cdot \frac{1}{N}.
\]

Diese drei Beziehungen sind ein vollst"andiger Ausdruck f"ur die Gesetze, nach denen sich
gem"a"s vorliegender Theorie das Elektron bewegen mu"s.

\vspace*{0.5cm}
Zum Schlusse bemerke ich, da"s mir beim Arbeiten an dem hier behandelten Probleme mein Freund und
Kollege M.Besso treu zur Seite stand und da"s ich demselben manche wertvolle Anregung
verdanke.

\vspace*{0.5cm}

Bern, Juni 1905.

\vspace*{0.5cm}
\centerline{(Eingegangen 30. Juni 1905.)}

\end{document}
