Un problème de probabilité non intuitive

Voici un problème de probabilité enseigné faux dans les manuels, faux par les profs. et faux par moi-même, jusqu'à ce que je le pose comme jeu à un ami, qui m'a montré que la réponse officielle est fausse.

Parmi un jeux de 4 As et 2 Dames, je tire deux As au hazard.
Les valeurs des As sont pique, coeur, treffle et carreau.

Si je vous dis que j'ai un As, cela vous donne de l'information pour savoir quelle est la probabilité que j'en ai un deuxième. Cette probabilité est de 12 / 28, soit 3 / 7.

Si je vous dis que j'ai l'As de treffle, cela vous donne plus d'information. Mais cette information supplémentaire, augmente-t-elle la probabilité que je possède un deuxième As ?

Intuitivement je pensais que non, alors qu'en faisant les calculs, on s'aperçoit que la probabilité dans ce deuxième cas est de 6 / 10.

Or dans ce cas, l'intuition a raison, et le calcul a tort.

Une manière de calculer ces probabilités est la suivante :
P1 = (nombre de manière de tirer deux As parmi les 6 cartes) /
          (nombre de manière de tirer un As et une autre cartes parmi les 6)
P1 = #(Tirer un As, puis un autre) /
           #(Tirer un As puis une autre parmi les 5 restantes + Tirer une Dame puis un As)
P1 = (4*3) / (4 * 5 + 2 * 4) = 12 / 28 = 3 / 7.
# = "nombre de manière de"

P2 = (nombre de manière de tirer l'As de treffle et un autre As parmi les 6 cartes) /
          (nombre de manière de tirer l' As de treffle et une autre cartes parmi les 6)
P2 = #(Tirer l'As de treffle, puis un autre As + Tirer un autre As puis l'As de treffle) /
          #(Tirer l'As de treffle puis une carte parmi les 5 restantes + Tirer une carte différente de l'As de treffle puis l'As de treffle))
P2 = (3 + 3) / (5 + 5) = 6 / 10 = 3 / 5.

Où est l'erreur dans le calcul précédent de P2 ?
En faite, il n'y a pas d'erreurs dans les calculs, mais dans l'hypothèse implicite que en répétant l'expérience il aura toujours un As de treffle. On ne sait pas ce que j'aurais dit si je n'avais pas eu l'As de treffle. On peut penser que si j'avais eu l'As de coeur au lieu de l'As de treffle, j'aurais annoncé que j'avais l'As de coeur. Denouveau on en aurait déduit que la probabilité d'avoir un second As est de 3/5. Mais dans chaque cas où je tire un As, je peux annoncer l'As que j'ai tiré. Cela n'augmente pas la probabilité que j'ait tiré un deuxième As.
Si j'avais dit : "La première carte que j'ai tirée était l'As de treffle", alors le calcul de P2 donnerait bien 3/5.
Si j'avais dit : "La première carte que j'ai tirée était un As", alors le calcul de P1 donnerait aussi 3/5.

Pour mieux comprendre, simplifions le problème.
Prenons simplement les trois cartes : As de treffle, As de coeur et Dame de pique.
Je tirs deux cartes,
L'information que j'ai tiré un As est évidente.
L'information de la couleur d'un As tiré n'est d'aucune utilité.
Faites l'expérience, et annoncez chaque fois la couleur d'un As tiré, cela ne vous donnera pas d'information pour décider si la deuxième carte est l'autre As ou la Dame. En concéquence même en sachant la couleur d'un As tiré, vous n'avez que une chance sur trois pour que les deux As aient été tirés.


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Page mise à jour le 11 juillet 2001 par   Bernard Gisin.     ( Envoyer un e-mail )
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