Un problème de probabilité non intuitive
Voici un problème de probabilité enseigné faux dans les
manuels, faux par les profs. et faux par moi-même, jusqu'à ce que
je le pose comme jeu à un ami, qui m'a montré que la réponse
officielle est fausse.
Parmi un jeux de 4 As et 2 Dames, je tire deux As au hazard.
Les valeurs des As sont pique, coeur, treffle et carreau.
Si je vous dis que j'ai un As, cela vous donne de l'information pour savoir quelle
est la probabilité que j'en ai un deuxième. Cette probabilité
est de 12 / 28, soit 3 / 7.
Si je vous dis que j'ai l'As de treffle, cela vous donne plus d'information. Mais
cette information supplémentaire, augmente-t-elle la probabilité
que je possède un deuxième As ?
Intuitivement je pensais que non, alors qu'en faisant les calculs, on s'aperçoit
que la probabilité dans ce deuxième cas est de 6 / 10.
Or dans ce cas, l'intuition a raison, et le calcul a tort.
Une manière de calculer ces probabilités est la suivante :
P1 = (nombre de manière de tirer deux As parmi les 6 cartes) /
(nombre de manière
de tirer un As et une autre cartes parmi les 6)
P1 = #(Tirer un As, puis un autre) /
#(Tirer un As puis
une autre parmi les 5 restantes + Tirer une Dame puis un As)
P1 = (4*3) / (4 * 5 + 2 * 4) = 12 / 28 = 3 / 7.
# = "nombre de manière de"
P2 = (nombre de manière de tirer l'As de treffle et un autre As parmi les
6 cartes) /
(nombre de manière
de tirer l' As de treffle et une autre cartes parmi les 6)
P2 = #(Tirer l'As de treffle, puis un autre As + Tirer un autre As puis l'As de
treffle) /
#(Tirer l'As de treffle
puis une carte parmi les 5 restantes + Tirer une carte différente de l'As
de treffle puis l'As de treffle))
P2 = (3 + 3) / (5 + 5) = 6 / 10 = 3 / 5.
Où est l'erreur dans le calcul précédent de P2 ?
En faite, il n'y a pas d'erreurs dans les calculs, mais dans l'hypothèse
implicite que en répétant l'expérience il aura toujours un
As de treffle. On ne sait pas ce que j'aurais dit si je n'avais pas eu l'As de
treffle. On peut penser que si j'avais eu l'As de coeur au lieu de l'As de treffle,
j'aurais annoncé que j'avais l'As de coeur. Denouveau on en aurait déduit
que la probabilité d'avoir un second As est de 3/5. Mais dans chaque cas
où je tire un As, je peux annoncer l'As que j'ai tiré. Cela n'augmente
pas la probabilité que j'ait tiré un deuxième As.
Si j'avais dit : "La première carte que j'ai tirée était
l'As de treffle", alors le calcul de P2 donnerait bien 3/5.
Si j'avais dit : "La première carte que j'ai tirée était
un As", alors le calcul de P1 donnerait aussi 3/5.
Pour mieux comprendre, simplifions le problème.
Prenons simplement les trois cartes : As de treffle, As de coeur et Dame de pique.
Je tirs deux cartes,
L'information que j'ai tiré un As est évidente.
L'information de la couleur d'un As tiré n'est d'aucune utilité.
Faites l'expérience, et annoncez chaque fois la couleur d'un As tiré,
cela ne vous donnera pas d'information pour décider si la deuxième
carte est l'autre As ou la Dame. En concéquence même en sachant la
couleur d'un As tiré, vous n'avez que une chance sur trois pour que les
deux As aient été tirés.
Plan du Site : index.html
math.html
JeuxMath.html
prob01.html
( = http://www.juggling.ch/gisin/math/jeux/prob01.html )
Page mise à jour le 11 juillet 2001 par Bernard Gisin. (
Envoyer un e-mail )
Hébergement par : www.Infomaniak.ch